Chapter 5 - 삼각함수의 덧셈정리, 삼각함수의 도함수

 

오늘은 좀 쉬어가는 시간입니다

 

이번 주 문산지역 폭우로 정신 없는 시간을 보낸 탓에 글 하나 제대로 못 올렸습니다.

 

지금도 시간에 쫓겨 글을 쓰고 있는데 이렇게 된 김에 

 

저번 시간에 언급한 삼각함수의 덧셈정리에 대해서 알아보겠습니다.

 

시작하기에 앞서, 여러분 삼각함수에 대해 알고 계시나요?

 

삼각함수라고 하면 세 가지를 다루게 되죠

 

sin함수

 

cos함수

 

tan함수

 

그리고 기억을 더듬어보면 중학교 3학년 때 이 세가지에 대해서 

 

'삼각비'라는 이름으로 배웠던 기억이 있을 겁니다

 

 

이 그림을 보고 외웠었죠

 

빗변분의 높이는 사인

빗변분의 밑변은 코사인

밑변분의 높이는 탄젠트!

 

이 때 탄젠트라 함은 빗변을 하나의 직선으로 생각했을 때 그 직선의 기울기가 됩니다

 

그리고 빗변의 길이를 1이라고 생각하면

 

사인과 코사인은 각각 높이, 밑변 그 자체가 됩니다.

 

위와같은 삼각비 세 가지의 정의를 더 다양한 각도에 대해서 정의하기 위해서 

 

고등학교 2학년 수학1 과정에서 호도법이라는 단위를 도입하고, 좌표평면 상의 단위원을 이용해 삼각비를 '삼각함수'라고 새로 정의합니다.

 

단위원이란 반지름이 1인 원을 이야기합니다.

 

그 정의는 다음과 같았죠

 

 

글로 쉽게 풀어 써보자면

 

cos x = 원점을 중심으로 하는 단위원과 각 x를 나타내는 직선이 만나는 점의 x좌표

 

sin x = 원점을 중심으로 하는 단위원과 각 x를 나타내는 직선이 만나는 점의 y좌표

 

tan x = 각 x를 나타내는 직선의 기울기

 

즉 이제부터 여러분에게 삼각함수가 무엇이냐 물어본다면

 

다음과 같이 교양있게 대답하면 됩니다

 

코사인! 엑스좌표, 사인! 와이좌표, 탄젠트! 기울기. 라고요

 

위와 같은 정의를 이용해 여러가지 삼각함수의 값들을 구할 수 있겠죠?

 

다음과 같은 예시가 있을 겁니다.

 

 

그리고 또 이런 것도 있겠죠

 

 

그리고 이런 건 어떨까요?

 

 

 

자..

 

위와 같이 생각하는 것은 굉장히 자연스럽다고 할 수 있지만

 

동시에 굉장히 잘못됐습니다.

 

어느 누구가 여러분들께 저런 삼각함수의 성질이 있다고 하였는가요

 

sin75'는 그저 

 

"원점을 중심으로 하는 단위원과 75'를 나타내는 직선이 만나는 점의 y좌표"일 뿐입니다.

 

sin75'=sin45'+sin30'라는 정의나 법칙, 공식은 없습니다.

 

아마 이런 것을 보고 헷갈릴 수는 있겠습니다.

 

x*75=x*45+x*30

 

하지만 이건 위와같은 상황에 한정된 이야기이지 삼각함수에 대해서는 저런 법칙이 성립하지 않습니다.

 

그렇다면 정의에 따라서 75도에 대한 사인함수의 함숫값을 구해볼까요?

 

단위원을 그리고 75도를 나타내는 직선을 그리고 그 교점의 y좌표를 구하면 될 겁니다.

 

하지만 이것은 30도와 45도 때에 비해서 훨씬어렵습니다.

 

예리한 기하학적 테크닉을 이용하면(?) 구할 수는 있지만 쉽지 않을거에요.

 

sin75'=sin45'+sin30'라는 식을 아무생각없이 썼다면 혼낼 겁니다만

 

만약 75도를 나타내는 직선을 그리는 과정을 거치는 정의를 이용했는데 잘 풀리지 않아 위와같은 발상을 하다가 하다가 시도해 본 것이라면 매우 칭찬할만합니다!

 

분명 삼각함수의 덧셈정리를 개발한 사람도 그런 실수를 했을 겁니다.

 

이곳에서 삼각함수의 덧셈정리의 본질이 나옵니다.

 

삼각함수의 덧셈정리는 "각을 찢을 때"쓰는 겁니다.

 

sin75'따위의 값이 정의만 이용해서는 구하기 힘들기때문에

 

더 쉬운, 알려진 각도인 45'와 30'값을 이용해서 sin75'의 값을 구할 수는 없을까?라는 발상에서 시작된 기법인거죠!

 

즉

 

sin(a+b)=sina+sinb라는 법칙따위가 없을까?하는 이야기입니다.

 

위에서 이미 이야기했듯이 위와같은 공식은 존재하지 않습니다.(일반적으로 성립하지 않습니다.)

 

이것은 다음과 같이 올바르게 쓸 수 있습니다.

 

 

위 공식의 의의는 다음과 같습니다.

 

"사인함수의 함숫값을 구해야 하는데 해당 각이 너무 어려운 각일 때 더 쉬운 각으로 바꾸는 방법"

 

정말 " 각을 찢고 싶을 떄 " 사용하게 될 것입니다.

 

늘 그랬듯이 증명을 빼놓을 순 없겠죠?

 

 

갑자기 너무 복잡한 도형이 나와서 당황하셨겠지만 차근차근 하나씩 살펴봅시다.

 

먼저 직각삼각형 ABC가 존재합니다.

 

그의 빗변 AB는 길이가 1임을 알수 있습니다.

 

또한 각 B의 크기는 알파+베타로 표현했고

 

각각을 나누는 분선이 존재합니다.

 

이 때 그 분선을 연장하고, 점 A에서 그 분선에 수선의 발 H를 내립니다.

 

그렇다면 변BH와 변AH의 길이는 각각 삼각함수의 정의에 따라서 cos베타, sin베타가 됩니다.

 

이 때 점 H를 선분 하나를 긋는데 그 직선과 직선 BC가 직교하게끔 긋습니다.

 

이 때 변 AH와 새로 그인 그 선분이 이루는 각도는 알파가 됩니다.

 

변 AH를 빗변으로 하는 직각삼각형에서 삼각함수의 정의를 이용하면

 

곧 두 개의 변의 길이를 알아낼 수 있습니다. 각각 sin베타cos알파, sin베타sin알파가 됩니다.

 

변 BH를 빗변으로 하는 직각삼각형에서 삼각함수의 정의를 이용하면 또한 변 두 개의 길이를 알게 됩니다.

 

각각 cos베타cos알파, cos베타sin알파가 됩니다.

 

이 떄 y축방향의 초록색 선분의 길이가 곧 선분 AC의 길이와 같게 되고(직사각형의 성질)

 

즉 sin(알파+베타)=sin(알파)cos(베타)+cos(알파)sin(베타)라는 결론에 다다르게 됩니다.

 

 

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이런 기하학적인 증명은 알파+베타가 0도보다 크고 90도보다 작은 각도인 경우에만 생각한 것이지만

 

대수적인 증명을 이용하면 곧 일반화할 수 있습니다.

 

기하적인 증명을 굳이 소개한 이유는 이것이 더 아름답기 때문입니다.

 

이제 저희는 어떠한 sin이 주어져도 그 녀석이 갖고있는 각도를 찢어버릴 수가 있습니다.

 

즉,

 

 

이런 식의 사용이 가능하다는 것이죠.

 

이렇게 삼각함수의 덧셈정리는 "어려운 각을 쉬운 각으로 찢을 수 있다"라는 점에서 의의를 갖습니다.

 

삼각함수의 덧셈정리는 sin에 대한 것뿐만 아니라 cos, tan에 대한 것도 있습니다.

 

이곳에서는 따로 증명하거나 써보지 않고 넘어가겠습니다. 결국 나중에 다시 만나게 될테니 한 번 따로 공부해보는 것을 추천합니다.

 

플마는 가볍게 무시해도 좋다. +인 경우에 대해서만 생각하면 된다.

 

 

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그렇다면 삼각함수의 덧셈정리의 용도가 sin75'따위를 구하는 것에만 국한되느냐 하면

 

아닙니다.

 

저희는 지금부터 매우매우 갑작스럽게 sinx의 도함수를 유도해볼 겁니다.

 

즉 우리는 무려 삼각함수를 '미분'하는 것이죠!

 

y=sinx에 대해서 도함수의 정의를 이용하면,

 

 

이것을 보는 순간 sin(x+h)를 찢고 싶어야 합니다.

 

x+h는 어려운 각이 확실하고

 

찢는다면 x라는 명확한 값과, h라는 0으로 한없이 다가가는 것이 분명한 값으로 생각할 수 있습니다.

 

삼각함수의 덧셈정리를 이용하면,

 

 

 

sin(h)/h의 극한이 왜 1이 되는지 모르고 있다면 다음 영상 3:00을 참고하길 바랍니다.

이것까지 다루면 너무 큰 틀에서 벗어나고 내용이 방대해집니다.

 

즉 sin을 미분하면 cos이 된다는 겁니다.

 

삼각함수의 미분 공식은 다음과 같습니다.

 

sin을 미분하면 cos

cos을 미분하면 -sin

 

tan를 미분하면 1/cos^2

 

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이 세가지로 웬만한 것들을 모두 해결할 수 있을 겁니다.

 

첫번째 공식은 같이 증명해보았지만 나머지 두 개는 따로 다루지 않겠습니다

 

직접 도함수의 정의를 이용해서 삼각함수의 덧셈정리를 곁들여 두 가지를 증명해보세요!

 

예제를 풀어보고 마치겠습니다.

 

 

이전에 배운 기본적인 미분법을 이용하면 되겠죠?

 

먼저 두 개의 항으로 쪼개서 각각 미분할 건데, 뒤의 상수항과 다르게 앞의 항은 공식을 한번 더 적용해야합니다.

 

3은 곱해져있는 상수니까 무시하고 sin(x)를 미분하면 cos(x)가 되어

 

가 됩니다.

 

다른 예제 하나를 더 살펴보겠습니다.

 

 

역시 세 개의 항으로 쪼개면, 뒤의 두 개는 각각 6x^2, 0이라는 쉬운 답이 나옵니다.

 

하지만 첫번째 향은 곱꼴로, 곱꼴의 미분법을 적용해야 합니다.

 

xsin(x)를 미분하면 다음과 같습니다.

 

 

 

따라서 다음과 같은 결론이 도출됩니다.

 

 

 

다음시간에 봅시다! 라고 빠이치기 전에

 

다시 한번 상기시켜 봅시다.

 

미분은 결국 도함수, 즉 미분계수로써 접선의 기울기를 구하고자 하는 것이었습니다.

 

이제 우리는 여러가지 다항함수와 유리함수, 그리고 심지어는 삼각함수의 도함수를 구할 수 있고

 

이것은 곧 이런 복잡한 함수들의 접선의 기울기를 구할 수 있다는 뜻이 됩니다

 

미분이라는 무기에 살이 붙여지고 있는 것이죠.

 

나중에 간단하게 알아보겠지만 결국 미분은 그래프를 그릴 수 있게 해준다는 점에서 새로운 용도를 가집니다.

 

접선의 기울기나 그래프 그리기를 제외하고도 최대-최소 문제, 뉴턴방법, 선형근사 등 여러가지 용도가 있습니다.

 

미분법들을 모두 배우고 적당히 활용할 수 있게 되면 위에 언급한 용도들을 한번씩 배워보려고 합니다.

 

그리고는 제가 가장 중심적으로 다루려고 하는 '미분방정식' 에 대해서 알아보겠습니다.

 

지금까지 배워온 정의같은 것은 그 자체를 제대로 아는 것이 도움이 되지만

 

저희 학습의 목표를 생각했을 때에는 미분법에 대해서는 잘 쓰는 것이 더 중요합니다.

 

따라서 지금까지 배워온 미분법들을 모두 쓰임새를 위주로 복습하고 계속 다음으로 따라와주시면 좋겠습니다.

 

그럼 파이팅!