Chapter 3 - 기본적인 미분법과 다항함수의 도함수

이전 챕터에서 소개한

 

기본적인 미분법에 대해서 알아보겠다.

 

위에서부터 1번 2번... 하여 7번 공식까지.

 

시작하기 전에 이전 챕터에서는

y=f(x)일 때 이를 x에 관해 미분하면

 

y=f'(x)이라고 하기로 했습니다.(도함수의 정의)

 

이것은 뉴턴의 표기법으로

 

때로는 라이프니츠의 표기법이 필요할 때도 있습니다.

 

그것은 dx, dy를 이용한 표기인데 다음과 같이 이해하면 됩니다.

 

미분이 곧 기울기의 극한이라는 것을 기억하시나요?

이를 h를 이용해 도함수의 정의를 정의내렸습니다.

 

그 때 h는 기하학적으로 생각해보면 x의 증가량에 해당할 것이고 y의 증가량은 f(x+h)-f(x)일 것입니다.

이 때 라이프니츠는 h를 dx, f(x+h)-f(x)를 dy라고 표현합니다.

따라서 도함수의 정의는 dy/dx로도 표현한다고 받아들이시면 됩니다.

 

사실 dy/dx는 dy나누기 dx라고 생각하면 안됩니다.

그러니까 독립적인 두개의 변수를 나눠서 쓴 분수는 아니라는 겁니다.

dy/dx는 그냥 그 자체가 하나의 기호가 됩니다.

 

사실 뒷부분으로 갈수록 dy/dx라는 기호에 dx를 곱해서 dy가 된다거나 하는 이를 평범한 분수처럼 생각하는 경우가 많습니다만

 

그것이 가능하다는 새로운 수학적 원리가 있는 것이지, 절대 dy/dx가 분수라는 것이 아닙니다!

1번 공식 

이것은 상수함수에 대한 미분법을 이야기 합니다.

 

 

라이프니츠의 기호가 아직 익숙하지 않으니 뉴턴식으로 해석해봅시다.

 

이 때 f(x)=c라고 생각하면

 

위 식은 f(x)를 x에 관해 미분하라는 것이 되고, 곧 f(x)의 도함수를 구하라는 것이 됩니다.

 

그런데 f(x)=c이니 c에 대해 도함수의 정의를 적용하면 되겠습니다.

 

도함수의 정의는 다음과 같습니다.

 

여기서 그저 f(x)=c라는 것입니다.

 

우리는 위 식에서 좌변(도함수)를 얻기 위해 우변의 극한식을 계산하면 될 것입니다.

 

정의에 대입합시다!(당연한 행동)

 

그렇다면  f'(x)는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

 

f(x+h)=c이고 f(x)=c인 이유는 f(x)=c로 이는 상수함수이다. 상수함수란 x에 무엇이 들어가도 항상 같은 y값이 나오는 함수이므로, x값이 x+h가 되든 x가 되는 항상 결과값인 y값은 무조건 c가 나와야 한다.

 

이에 따라 공식1은 증명됩니다.

 

다음과 같이 쉽게 기억합시다

 

1. "숫자를 미분하면 0이다."

다음의 예제에 적용하며 공식을 익혀보자.

 

1.1

 

이것은 f(x)=2이라는 상수함수를 미분하라는 뜻이다.

그는 곧 f(x)=2의 도함수를 구하라는 뜻이고

 

1번공식에 의해서 2는 숫자니까 숫자를 미분하면 0이다.

 

1.2

 

123098217312이라는 숫자를 미분하라는 뜻이다.

 

1번공식에 의해서 이것은 아무리 커도 숫자에 불과하므로 답은 0이다.

 

1.3

 

 

sin값은 그 x값이 무엇이더라고 어떤 그냥 숫자에 불과할 것이다.

거기에 45를 더해도 그냥 숫자이니까

곧 답은 0이 된다.

 

 

2번 공식

 

이것은 x를 n번 거듭하여 곱하였다는 뜻인 f(x)=x^n의 미분법에 대한 이야기입니다.

 

역시 도함수의 정의를 이용합시다.

 

f(x)=x^n 이라고 하면,

 

 

 

두번째 식에서 세번째 식으로 넘어가는 과정에서는 다음과 같은 공식이 쓰였다.

 

 

이게 이해가 안된다면 질문을 주거나 검색해서 이해해보도록 하자.

 

따라서 x^n의 도함수는 n*x^n-1이다.

 

다음과 같이 쉽게 기억합시다.

 

2. "x의 몇승의 도함수는 그 몇을 왼쪽 아래로 내려쓰고 차수 하나 다운!"

다음의 예제에 적용하며 공식을 익혀보자.

 

2.1 

 

 

x^2을 미분하라. 즉 x^2의 도함수를 구하는 것이다.

 

2번 공식에 의하면

 

x의 몇승의 꼴을 하고 있다. 그것은 x의 2승이라는 꼴이니까 이의 도함수는

 

'그 몇'을 이야기하는 2를 왼쪽 아래로 내려쓰고 차수인 2를 하나 다운해서 1이라고 생각하면 되겠다.

 

그러니까 즉

 

'몇'에 해당하는 2를 계수로써왼쪽 아래로 내려서 곱으로 썼고, 2를 한 차수 내려서 1로 그것의 지수로 사용했다.

 

2.2

 

x^5의 도함수를 구하면 된다.

 

역시 2번 공식에 의해서

 

5를 아래로 계수로써 내려쓰고, 1 작은 4를 지수로 채택하면 된다.

 

 

3번 공식

 

이것은 함수 y=f(x)와 상수 c에 대해

 

f(x)에 c를 곱한 함수의 도함수와 f(x)의 도함수인 f'(x)의 c와의 곱이 서로 같다는 것을 의미한다.

 

증명해보자.

 

우리는 g(x)=c*f(x)라고 정의하고

 

g(x)의 도함수를 구할 것이다.

 

도함수의 정의를 풀어쓰면,

 

 

쉬운 증명이다.

 

3번 공식을 다음과 같이 쉽게 기억하자.

 

3. "함수에 숫자 곱해져있으면 그거 왕따시키고 따로 미분하면 됨."

 

3.1

 

 

2x^2이라는 함수를 미분하라는 뜻이다.

 

먼저 3번공식을 적용하자.

 

2는 숫자이므로 우린 그냥 x^2을 미분해주고 거기 옆에 2를 갖다 쓰면 되는 것이다. 즉,

 

 

이 때 x^2은 2번공식에 의해서 2를 계수로 쓰고 차수를 하나 내려 그 도함수가 2x가 된다.

 

아까 우리가 왕따시킨 2와 2x를 곱해서 도함수는 4x가 됨이 자명하다!

 

4번 공식, 5번공식

 

4번과 5번공식은 사실 5번에서 -g=+h라고 생각하면 4번과 같은 의미를 띄게 된다.

(예를 들어서 1+1=2임도 1-(-1)=2라고 삐딱하게 생각할 수 있지 않은가?
1에 1을 더한 것도 맞는 말이지만, 1에 -1을 뺀 것과 같은 것이다.

또 1-1=0도 단순하게 생각하지 않고

1+(-1)=0이라고 생각할 수 있으므로 1을 뺀 것이 아니라 -1을 더한 것이다.

즉 우리는 빼는 것은 반수(부호가 다르고 절댓값이 같은 수)를 더하는 것이라고 생각할 수 있다.)

 

위의 논리에 따라서 4번공식을 증명해도 곧 5번공식은 사실이 된다.

 

4번공식은 "두 개의 함수를 합하여 미분한 것은 곧 두 개의 함수를 따로 미분해 더한 것과 같다."라는 것을 의미한다.

 

증명해보자.

 

 

이해가 쏙쏙 되지 않는가?

(안되면 질문하라.)

 

4번 공식을 다음과 같이 쉽게 기억하자.

 

4. "뭐 미분하라 하면 그냥 다 찢어서 따로따로 해서 써도 된다!"

 

4.1

 

이 식을 보면 2x^2과 45의 합으로 이루어진 함수를 미분하라고 되어있다.

 

4번 공식을 적용하면

 

우리는 2x^2의 도함수를 구하고, 45의 도함수를 각각 구해서 더한 것이 위 식의 결과값과 같을 것이라고 이해할 수 있다.

 

쉽게 말하면 +를 기점으로 두 항으로 위 식을 찢어서 따로 미분해서 더하자는 것이다!

 

2x^2의 도함수는 예제 3.1에서 본 것과 같이 4x이고, 

 

45는 1번 공식을 적용하면, 45는 그냥 숫자이므로 미분해서 도함수를 구하면 0이 된다.

 

최종적으로 4번 공식에 의해서 위 도함수는 각 항으로 찢어서 구한 도함수의 합과 같으므로

 

 

이라는 결론에 다다른다.

 

이 치밀한 논리... 아름답다!

 

4.2

 

 

4번 공식을 적용하면

 

우리는 곧 2x^2와 -x의 도함수를 구해서 그 두가지를 더하면 된다.

 

왜냐하면 2x^2-x=2x^2+(-x)라고 차도 합으로 생각할 수 있기 때문이다!

 

2x^2은 또한 3번 공식을 적용해보자.

 

그렇다면 2는 상수이므로 그냥 x^2만 미분하고 나중에 곱해주면 될 것이다.

 

x^2의 도함수는 또 2번공식에 의해서 차수 하나 다운, 2 내려쓰기를 하여 2x가 된다.

 

3번공식에 의해서 2*2x=4x가 되어 2x^2의 도함수는 4x임을 알 수 있다.

 

-x쪽을 살펴보면

 

-x는 사실 (-1)*x^1과 같다.

 

이 때 3번 공식에 의해서 -1은 그냥 상수이므로 x^1을 미분하고 나중에 곱해주면 그만이다.

 

x^1은 또 2번공식에 의해서 차수 하나 다운, 1 내려쓰기를 하면 그 도함수가 1*x^0이 된다.

 

모든 수의 0승은 1이므로 1*x^0=1*1=1이 되어 x^1=x의 도함수는 1이다.

 

이 때 3번 공식에 의해서 -x의 도함수는 곧 (-1)*(1)이므로 이는 곧 -1이 된다.

 

각각의 도함수를 더하면(4번 공식에 의하여) 

 

 

이라는 멋진 결론을 얻는다.

 

당신이 예리하다면 다음과 같은 결론에 다다를 것이다.

 

"우리는 이제 모든 다항함수를 미분할 수 있다!"

 

위는 사실이다.

 

그리고 모든 다항함수라는 말을 해석하기 위해 일반적인 다항함수의 형태를 살펴 이의 도함수를 항상 구할 수 있을 지 생각해보자.

 

다항함수의 일반적인 꼴은 다음과 같다.

 

 

위 함수를 미분할 수 있을지, 그러니까 도함수를 구할 수 있을지 생각해보자.

 

위 식은 n+1개의 항으로 이루어져 있다.

 

그리고 각 항의 형태는 항상

 

'어떤 상수 곱하기 x의 몇승'

 

과 같은 꼴이다.

 

이런 모든 꼴은 3번 공식을 적용하면 '어떤 상수'는 잠깐 놔두고 'x의 몇승'만 미분해 곱해주면 될 것이다.

 

그런데, x의 몇승은 2번 공식에 의해서 그 차수를 내려쓰고, 1 빼서 지수로 쓰는 것으로 미분해 도함수를 구할 수 있다.

 

그것에 '어떤 상수'를 곱해주면 3번공식에 의해서 그것은 '어떤 상수 곱하기 x의 몇승'의 도함수가 된다.

 

즉 n+1개의 어떤 항을 선택해도 우리는 항상 2번과 3번공식을 이용해서 그 도함수를 구할 수 있다는 것이다.

(물론 맨 마지막 항은 상수함수니까 1번 공식에 의해서 그 도함수가 0이 된다.)

 

이 때 4번 공식에 의해서 모든

 

'어떤 상수 곱하기 x의 몇승'이라는 꼴의 항의 도함수를 다 더하면 그것이 곧 f(x)의 도함수인 f'(x)가 된다는 걸 알 수 있다.

 

즉 어떤 다항함수가 주어져도 우리는 항상 그 도함수를 구할 수 있다라는 결론에 다다른다.

 

이 결론은 1,2,3,4번 공식에 의한 것이고

 

1,2,3,4번 공식은 도함수의 정의에 의한 것이다.

 

즉 우리는 도함수의 정의로부터 모든 다항함수를 미분하는 방법을 깨달아버렸다.

 

좋다! 아주좋아!

 

적용해보자!

 

 

4번 공식을 이용해 각 항을 미분해서 더하는 것을 답으로 하자!

 

3x^3은 3은 제쳐두고 x^3에서 차수를 내리고 쓰는 것으로 9x^2가 그 도함수가 됨을 알 수 있다.

 

-4x^2도 위와 같은 논리로 -8x가 그 도함수가 됨을 알 수 있다.

 

7x도 위와 같은 논리로 7이 그 도함수가 됨을 알 수 있다.

 

1은 상수이므로 미분하면 0이다.

 

네 가지 식을 더하면

 

다음과 같은 결론에 다다른다.

 

 

역시나 역시나...

 

우리는 이제 모든 다항함수를 미분할 수 있다!

 

직접 여러가지 다항함수를 만들어 미분하면서 도함수의 정의와, 도함수의 정의로부터 파생된 공식 1 2 3 4 5를 음미해 보아라.

 

사용하면서 원리를 깨닫고, 그의 사용법을 깨달을 수 있을 것이다!

 

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이번 시간엔 1번 2번 3번 4번 5번 공식으로 

 

다항함수의 미분법을 정복하였다.

 

다음 시간엔 6번과 7번 공식을 배우고

 

이를 통해 유리함수와 무리함수, 곱꼴의 함수의 미분법에 대해서 정복해보자.

 

(사실 2번공식에 의해 우리는 무리함수의 일부를 이미 정복하긴 했다. 하지만 다음시간에 곁들여 다시 알아보도록 하자!)

 

지금까지 배운 내용이 모두 한 흐름에 있다는 것을 기억하고 논리의 전개를 증명의 이해를 통해 최대한 치밀하게 가져가도록 하자.

 

이상 

 

파이팅!