Chapter 4 - 곱꼴의 미분법과 유리함수의 도함수

아무래도 이 쯤 되면 이런 의문이 들 겁니다.

 

"아니 이렇게 하나하나 다 설명하면서 지나가면 이게 전공책을 따로 보는 거랑 대체 무엇이 다르지?"

 

충분히 그럴 수 있습니다, 두 가지를 알아주시면 좋겠습니다.

 

1. 전공책보다 훨씬 덜 엄밀하게 논리를 전개하고 있습니다. 이정도면 그렇게 수학적으로 딱딱하게 배워가는 과정은 아니지요

 

2. 1번에 의하여 실용적인 면에서 논리를 전개하고 있기때문에, 그리고 또 이러한 도구들이 바탕이 되어야 우리가 하고자 하는 여러가지 내용들과 친해질 수 있습니다.

 

일단은 따라와주시면 좋겠습니다 !

 

저번 시간에는 기본적인 미분법 공식에서 1~5번 공식까지를 배웠습니다.

 

다음과 같은 이미지를 바탕으로 공부했었죠?

 

 

다섯가지 공식을 증명해보고 그것의 쓰임새에 대해서 배웠습니다.

 

그것의 쓰임새를 배우는 과정은 사실 그 공식을 쉬운 문장으로 압축해서 기억하는 것으로 배우게끔 의도했습니다.

 

덕분에 다섯가지 공식에는 그것에 대응하는 '다음과 같이 기억하자'같은 것들이 있었죠

 

간단하게 복습하고 넘어가겠습니다.

 

1번공식 : 숫자를 미분하면 0이다.

 

2번공식 : x^n을 미분하면 n을 옆으로 내리고 n에서 1을 뺀 숫자인 n-1을 지수로 바꾸어주면 된다.

 

3번공식 : 곱해져 있는 숫자는 무시하고 나머지를 미분해서 쓰면 된다.

 

4번공식, 5번공식 : 미분할 함수가 더하기 빼기로 연결된 것일 때 그냥 각각을 찢어서 미분한다고 생각하자.

 

이제는 6번, 7번 공식을 증명하고 위와 같이 쉬운 말로 바꾸어서 그 쓰임새를 쉽게 이해하고 적용하게끔 만들어 보겠습니다.

 

먼저 6번공식에 대해 알아보겠습니다.

 

역시 도함수의 정의를 이용해 증명하겠습니다.

 

(다시 한 번 여러분들의 수학 감수성을 위해 강조하지만

위 공식들을 증명하는 데에 있어서 도함수의 정의를 이용하는 것이 절대 특별한 일이 아닙니다.

' 이라는 기호는 해당 함수를 미분하라는 것이고 미분하라는 것은 도함수를 구하라는 것이니

도함수를 구하기 위해 그 뜻인 도함수의 정의를 이용하는 건 너무나도 당연한 겁니다.

공식을 증명하기 위해서 특별한 묘기를 부려 '도함수의 정의'라는 이상한 수학적 개념을 뜬근없이 가져다 쓰는 것이 아니라

너무 당연한 일인 겁니다.

마치 연초를 태우기 위해서 라이터로 불을 붙이는 것 정도라고 할까요?

그 이상 그 이하도 아닌 너무나도 당연한 논리과정입니다.

1+1=2이라는 수식을 증명하기 위해서(사실 해석학에서 다루는 대수학의 공리를 이용하는 것이 맞지만)

더하기의 직관적인 의미를 음미하고 그것을 적용해 이를 증명해낼 수 있습니다. 당연하지요 정말?)

 

다음과 같이 도함수의 정의를 이용해 쓸 수 있을 겁니다.

 

 

근데 이렇게 쓰고 나니 이전의 5가지 공식을 증명한 것과 다르게 또다른 수학적인 기법을 적용할 영감이 쉽게 떠오르지 않습니다.

 

하지만 무언가 배운 것이 있다면 우리는 1번부터 5번까지의 공식을 증명할 때엔 결국 f'(x) 혹은 g'(x)를 극한식에서 찾았습니다.

 

쉽게 말하면 lim 오른쪽에 있는 수식에서 

 

 

이런 꼴을 찾거나 만들어서 극한값을 계산했습니다.

 

사실 이런 태도가 너무나도 당연한 것이 위 식은 곧 극한에 의하여 f'(x)라는 식으로 연결될 수 있고 이는 공식의 우변에 존재합니다.

 

좌변의 결과가 우변의 결과와 같다(=)를 증명하는 것이니

 

우리는 좌변을 도함수의 정의를 이용해 풀어썼고, 이를 변형시켜서 우변의 결과와 같게끔 식을 조정하는 작업을 해준 것입니다.

 

우변에는 f'(x) 혹은 g'(x)와 같은 요소가 있으니 이를 좌변의 식에서 찾아서 도출하는 것이 좌변의 식을 우변의 식으로 만들어주는 과정에 있어서 효율적이라고 판단할 수 있겠죠?

 

그리고 우리는 그렇게 했습니다.

 

이러한 아주 기본적이지만 우리가 무의식적으로 적용한 본질적 논리에 따라서 이번 6번 공식을 증명해봅시다.

 

우리는 6번 공식을 도함수의 정의를 이용해 풀어쓴 식을 보고서 위 식을 찾아야 합니다.

 

찾으려고 보니까 없습니다.

 

그런데 비슷한 부분들은 많이 보이죠?

 

그런데 비슷하다는 것이지 같다는 게 아니니 결국 f'(x)를 의미하는 분수를 찾을 순 없습니다.

 

하지만 수학적으로 보았을 때 비슷하다는 것은 여러 조치를 취하면 같아질 수 있다는 가능성이 있다고도 볼 수 있겠습니다.

 

그 여러 조치를 취해보겠습니다.

 

그 조치는 다음과 같습니다.

 

 

그 조치의 논리는 다음과 같습니다.

 

 

이러한 꼴이 보일락 말락하니까 

 

에라이~ 모르겠다 하고 인조적인 f(x+h)g(x)라는 식을 빼고 다시 더해서

 

(병주고 약주기. 어떤 식을 빼고 다시 더하면 그 합이 0이니까 본 식과 다르지 않은 것임)

 

아예 우리가 찾는 꼴을 만들어버리자!

 

결과를 보기좋게 다시 쓰면 다음과 같습니다.

 

 

이것은 6번 공식의 결과이고

 

다음과 같이 쉽게 기억하겠습니다.

 

6. "곱꼴의 미분은 앞에꺼미분 곱하기 뒤에꺼 더하기 앞에꺼 놔두고 뒤에꺼미분."

 

fg를 미분하면 f'g+fg'인데, f가 '앞에꺼'를 상징하고, g가 '뒤에꺼'를 상징합니다.

 

f'g+fg'을 읽어보면

 

"앞에꺼를 미분한 것에 뒤에꺼를 곱하고, 앞에껀 놔둔 것에 뒤에껄 미분해서 곱한 그 두개를 더함."이니 

 

위와 같은 요약에 도달하는 겁니다.

 

예제를 풀어봅시다.

 

6.1 

 

 

미분의 대상인 저 식은 분명 전개하면 다항함수가 됨이 분명합니다.

 

Chapter 3의 결론인 "우리는 이제 5가지 공식으로 모든 다항함수를 미분할 수 있다!"에 의해서 

 

위 식을 전개하면 분명 우리는 그 도함수를 구할 수 있겠죠.

 

전개해보면,

 

 

이라는 결론에 쉽게 다다릅니다.

 

(이제 1~5번 공식은 그 적용 방식과 세세한 논리에 대해서 다루지 않습니다. 만약 위 전개식이 이해가 안된다면 질문 혹은 Chapter 3의 예제들을 다시 보며 공부하거나 위 식과 비교해서 깨달아봅시다.)

 

 

사실 결론에 쉽게 다다른 것은 아닙니다.

 

저 식을 전개하는 과정이 굉장히 번거롭기 때문이죠

 

그렇다고 해서 이런 풀이를 시시한 풀이라고 생각하면 안됩니다.

 

그것은 수학 감수성이 드럽게 없는 사람들이나 그렇게 생각하는 것이지요

 

우리의 논리는 완벽했습니다.

 

1. 주어진 피미분함수가 전개된다면 다항함수가 될 것을 확인했고

 

2. Chapter 3의 결론에 따라서 다항함수는 모두 우리의 손으로 그 도함수를 구할 수 있다하니

 

3. 실제로 피미분함수를 전개해서 다항함수로 만들고

 

4. 이를 1~5번의 공식을 이용해서 미분하여 도함수를 구해냈습니다.

 

대체 어디에서 수학적으로 오류가 있는지 짚을 수 있겠습니까?

 

없습니다. 그저 완벽한 논리이고 수학 감수성이 넘쳐납니다.

 

 

하지만 6번공식을 적용해 볼수도 있겠죠?

 

앞에꺼 미분하고 뒤에꺼 놔둔 것에다가, 앞에 꺼 놔둔 거에 뒤에꺼 미분한 것을 더하는 것을 그 곱꼴식의 도함수로 하자고 했습니다.

 

적용한다면,

 

 

더더욱 간단하게 결론에 다다릅니다!

 

7번공식에 대해서 알아보겠습니다.

 

역시 도함수의 정의로 시작하면 되겠으나...!

 

이 번의 경우는 조금 다르지요? 왜냐하면,

 

f/g라는 것은 f*(1/g)라고 볼 수 있습니다.

 

a라는 수를 b로 나누라는 것은 a에 b의 역수인 1/b를 곱하라는 것과 같은 의미이기 때문입니다.

 

그렇다면 (f/g)'은 곧 곱꼴로 해석될 수 있으니 6번공식을 적용해보겠습니다.

 

 

3번째 식을 그냥 답이라고 하고싶긴 한데 그렇게 하면 찔리는 점이 있습니다.

 

우리는 (1/g(x))'이 1/g'(x)이 맞다 하면 본능적으로 꺼림칙함을 느낄 수 있습니다.

 

왜냐하면 두 개가 같다고 말 한 공식이 아직은 없거든요..!

 

따라서 (1/g(x))'을 계산해보겠습니다.

 

역시 도함수의 정의에 의하면,

 

 

이 결론을 적용해서 아까 식을 다시 써보겠습니다.

 

\

 

우리는 이 공식을 다음과 같이 쉽게 기억하겠습니다.

 

7. "분수꼴 미분할 때에는 분모제곱분에 분자미분곱하기분모빼기분자곱하기분모미분!"

 

7.1

 

 

7번공식을 적용하자!

 

그 답은 

 

"분모제곱분에분자미분곱하기분모빼기분자곱하기분모미분"이므로 이를 식으로 쓰면,

 

 

아주 좋다.

 

7번 공식을 적용하는 과정에서 당신은 분모와 분자 식을 미분하였을텐데

 

그 과정에서는 앞에서 배운 공식들이 쓰였을 것이다.

 

이렇게 논리의 연속으로 끊임없이 발전하고 새로운 사실을 밝혀내고 그 흐름을 음미하는 것은

 

수학 감수성을 키우는 데에 있어서 중요한 일이 된다.

 

우리는 6번공식을 배웠고, 이를 이용해서 7번공식의 증명을 이끌어냈다.

 

이는 곧 우리는 모든 유리함수를 미분할 수 있다라는 결론을 가져다 준다.

 

이전 챕터에서는 모든 다항함수를 미분할 수 있게 되었다.

 

이번엔 유리함수를 정복했고

 

우리에게 남은 것은 

 

1. 삼각함수

 

2. 무리함수

 

3. 지수함수

 

4. 로그함수

 

이 네 가지 함수의 미분법에 대한 것들이다.

 

다음 시간에는 삼각함수의 미분법을 배우기 전에 삼각함수의 덧셈정리에 대해 공부해보자.

 

삼각함수의 덧셈정리는 그 증명 과정 자체도 꽤 수학적 감수성쪽으로 감성적이며 그 결과도 굉장히 유용하고 직관적이어서 써먹기 좋다.

 

뜬구름 잡는 이야기가 아니니까 기대하고 다음시간에 만나자!