Chapter 7 - 로그함수의 미분법과 합성함수의 미분법

오랜만에 돌아왔습니다.

 

쉬는 동안엔 집합론과 해석학을 많이 공부하면서 영감을 받아왔는데요

 

앞으로 소개할 내용이 산더미처럼 많아진 건 기분탓일까요..

 

어찌됐든 드디어 미분법을 마무리하는 날입니다.

 

미분법을 마무리하면 이제 정말 여러가지의 활용을 맛 볼 수 있는데요

 

그러한 상황에 따라서 앞으로는 개념->문제 식의 내용이 아닌

 

문제 -> 개념 식으로 공부해 나가겠습니다.

 

골자가 되는 기본적인 내용들은 우리가 이미 여러번 배워왔으니

 

추가되는 그것들은 앞으로 조금씩 붙여나가겠다는 것입니다.

 

아무래도 매우 높은 확률로 제 글이 지금까지 제 0편을 제외하고는 노잼이었을 것이라고 확신합니다.

 

그 이유는 바로 개념학습의 지루함에 있습니다.

 

저 같은 사람은 개념을 학습하면 많은 영감들에 휩싸이고 정교한 수학적 구조에 감탄하기도 하여 그것에서 지루함을 느끼는 편이 아닙니다만

 

대부분의 사람들은 개념학습을 고통스러워 할 수 밖에 없습니다.

 

왜냐하면 어떠한 개념 A를 배우게 되면

 

그래서 개념 A를 배우면 뭘 할 수 있는데?

 

라는 질문을 던지게 되고

 

보통 수학 학습에서는 그러한 질문에 같잖은 예제 몇 개를 가져다 두고(우리는 이미 이런 예제는 간단한 것으로 보았습니다.)

 

다음 개념 B를 공부하게 됩니다.

 

그말은 즉 개념 A의 활용법을 알기 위해선 시간이 많이 필요하다는 것이죠..

 

개념 B C D 를 배우고 E F를 넘어 시간이 많이 지나야 어떠한 활용을 완벽히 이해할 수 있는 것입니다.

 

그래서 보통의 수학 서적은 위와같은 방식으로 진행하는 것이 흔히 말하는 '정배'가 되어 그것을 따릅니다.

 

하지만 제 글은 결코 교과서만큼 정교하지도 않고

 

결코 교과서처럼 여러분들에게 수학을 하나하나 다 알려주고자 쓰는 글들이 아닙니다.

 

초장에 이야기했지만 

 

수학 감수성을 키우자고 했습니다.

 

그것은 개념학습을 지루하게 해나가는 것만으로는 결코 해낼 수 없는 일이고

 

앞으로는 흥미로운 문제들을 함께 고찰해나가는 식으로 진행할 겁니다.

 

이 글에서는 따라서 앞으로 문제->개념의 식으로 진행하게 됩니다.

 

그것이 여러분의 흥미를 이끌어내는 데에 있어서도 더 효율적이며 더 이 글의 취지에 어울리는 방식이 됩니다.

 

일단은 오늘의 개념을 간단하게 마무리하고 다음으로 넘어가도록 합시다.

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로그라 함은 지수에 관한 표현법입니다.

 

로그에 관한 정말 기초적인 내용을 모르신다면 따로 학습하고 오시길 권장합니다.

 

로그함수의 미분법은 자연로그로부터 시작합니다.

 

로그의 밑이 자연상수 e인 경우를 이야기하는데요

 

그것을 특별히 lnx라고 표현합니다.이 때 밑은 e, 진수는 x가 되는 것입니다.

 

그것은 또한 로그의 정의에 따라서 e의 지수의 자리에 위치시키면 그 값은 x가 됩니다.

 

왜냐하면 로그의 정의는 곧 lnx를 e가 x가 되기 위한 지수라고 정의하기 때문입니다.

 

 

인터넷에서 사진을 퍼왔습니다.

 

위와같이 간단하게 이해하면 됩니다만(역시 도함수의 정의를 이용합니다.)

 

아마 헷갈릴 부분은 바로 마지막 줄과 바로 그 윗 줄입니다.

 

마지막 줄은 곧 ln의 진수가 e의정의가 된다는 것을 이해하시면 되고

 

그 윗 줄은 자연상수 e의 정의에 부합하게 식을 조절하는 지수법칙의 적용이라고 생각하시면 됩니다.

 

로그함수 미분법의 증명은 그렇게 중요한 부분은 아닙니다.

 

간략하게 미분법에 대해서 생각하겠습니다.

 

 

빨간 식 중에서 위의 두 개만 이해하시면 됩니다.

 

세 번째는 합성합수의 미분법에 대한 이야기입니다.

 

첫 번째 식은 위의 증명과정으로 이해할 수 있습니다.

 

아래 식도 비슷한 증명의 과정으로 이해할 수 있으며 로그의 성질과 기본적인 미분법으로 증명할 수 있습니다.(어떤 상수에 함수를 곱해두면, 그냥 그 상수를 무시하고 함수를 미분해서 쓰면 그것이 도함수가 된다는 성질)

 

역시 증명과정은 크게 중요하지 않아 위의 공식을 여러분들이 적용할 수 있는 것에만 집중하시면 되겠습니다.

 

예제를 살펴보고 넘어가겠습니다.

 

예제)

 

$ y=2ln(x)를 미분하시오. $

2는 상수이니 무시하고 ln(x)를 미분합시다.

 

그렇다면 그것은 $1/x$가 되고

 

따라서 그 도함수는

 

$ y'=2/x $가 됩니다.

 

$y=xlnx를 미분하시오.$

곱꼴의 미분법을 이용합시다.

 

곧 앞'뒤+앞뒤'이므로

 

$y'=1*ln(x)+x*(1/x)$가 됩니다.

 

즉,

 

$ y'=ln(x)+1입니다. $

 

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이젠 위의 내용보다 훨씬 합성함수의 미분법에 대한 이야기입니다.

 

이전에 $y'=dy/dx$라고도 쓴다고 이야기했습니다.

 

앞으로 하는 이야기가 크게 이해가 되지 않아도 사실 상관 없습니다.

 

그저 받아들이시면서 따라오면 그것들의 활용에는 문제가 없을 겁니다.

 

여기서 dy와 dx는 각각 y의 미소변화량, x의 미소변화량을 뜻합니다.

 

dy/dx=y'에서 y'은 x에서의 y의 접선의 기울기를 의미합니다.

 

우리가 미분계수를 생각할 때 결국 y증가량을 x증가량으로 나눈 것의 극한값으로 그 미분계수를 정의했습니다.

 

이 때 x증가량이 한없이 작아지는 것을 가정하는 것으로 극한의 개념을 도입했는데,

 

이 극한의 상황에서 한없이 작아진 x증가량과 y증가량을 각각 x의 미소변화량, y의 미소변화량이라고 부릅니다.

 

즉 각각인 dx, dy는 엄청나게 아주아주아주 작은 빌어먹을 어떠한 숫자로 존재한다는 것이죠

 

따라서 사실 dy/dx는 분수라고 부르기엔 애매한 개념입니다만

 

위와같은 논리에 따라서 dy와 dx를 미소변화'량'으로 생각하여 이를 분수처럼 취급할 수 있습니다.

 

예를 들어 다음과같은 연산이 가능하다는 겁니다.

 

$(dy/dx)*dx=dy$

 

원래와 같으면 이런 약분과 같은 행태는 보여질 수 없는 것이고 정의되지 않는 것이 지금까지의 내용 상에서는 자명합니다.

 

하지만 이런 식으로 dx와 dy를 독립적인 양으로써 생각하고 이용할 수 있다는 점을 받아들여주시기 바랍니다.

 

사실 합성함수의 미분법은 연쇄법칙이라고 기억하는 것이 훨씬 효율적입니다.

 

예를 들어서 다음과 같은 함수를 미분한다고 합시다.

 

$y=sin(x^2) $

 

이녀석을 미분하면

 

$ y'=cos(x^2) $

 

이라고 하시면 그건 명백한 불법입니다!

 

먼저 직관적인 이유로 밝히고

 

그 다음엔 연쇄법칙(합성함수의 미분법)을 이용해서 논리적으로 밝혀보겠습니다.

 

만약,

 

$ y'=cos(x^2) $이 참이라면(귀류법)

 

그것은 곧 $ y=sin(x^2) $에서 x에서의 그 미분계수, 그러니까 곧 접선의 기울기가 $ cos(x^2) $이 된다는 것입니다.

 

그래프를 그려보겠습니다.

 

 

이것은  $ y=sin(x^2) $의 그래프를 '지오지브라'를 이용해 그린 것입니다.

 

다음은 

 

$ y'=cos(x^2) $의 그래프입니다.

 

 

여기서 두 그래프 상의 x=0인 경우에 주목합시다.

 

y의 그래프 상에서는 분명 x=0에서의 그 접선의 기울기는 0인것처럼 보입니다.

 

물론 아예 0이라고 단정지을 수는 없겠습니다.

 

수학에서는 시각적인 직관이든 많은 직관은 도움을 줄지언정 그것이 곧 자명한 사실을 시사하는 것은 항상 그렇진 않기 때문입니다.

 

y'의 그래프 상에서 x=0일때의 함숫값은 1인것처럼 보입니다.

이것은 자명합니다.

 

왜냐하면 $ y'=cos(x^2) $에서 x=0이면 $ y'=cos(0)=1 $이기 때문입니다.

 

우리들의 가정에 의하여 y'은 y의 접선의 기울기를 의미하므로 그 기울기는 1이라고 생각해야 할 것입니다.

 

하지만 그 기울기가 이미지상 0에 가까우면 한없이 가깝거나 0이고 말지, 절대 1은 아님이 명백합니다.

 

따라서 우리의 가정, 그러니까 y'은 y의 도함수라는 주장이 틀린 주장이 됩니다.

 

즉 $ y'=cos(x^2) $이라는 주장은 거짓입니다.

 

이제는 논리적으로 밝혀보겠습니다.

 

$ t=x^2 $라고 치환하겠습니다.

 

그렇다면 우리가 구하는 것은 $y'=dy/dx$인데, 이것은 곧 $ y'=dy/dx=(dy/dt)*(dt/dx) $가 됩니다.

 

약분해보면 위 사실이 참임을 바로 알 수 있습니다.

 

위 식에 의해서

 

$ dy/dx $인 좌변을 구하기 위해서는 우변인$ (dy/dt)*(dt/dx) $를 구하면 된다는 것을 확인할 수 있습니다.

 

왜냐하면 그 둘이 같다고 써져있으니까요..

 

먼저 $ dy/dt $를 생각합시다.

 

$ t=x^2 $라는 사실에 의해서 

 

$ y=sin(x^2)=sin(t) $가 됩니다.

 

$ dy/dx $가 x로 미분하라는 의미인 것처럼

 

$ dy/dt $는 t로 미분하라는 의미로 해석가능합니다.(받아들이십시오.)

 

$ y=sin(t) $에서 이를 미분하면,

 

$ y'=cos(t) $가 되어 $dy/dt=cos(t)=cos(x^2)$임을 바로 알 수 있습니다.

 

이젠 $ dt/dx $를 구해봅시다.

 

$ t=x^2 $라고 했으니

 

$ dt/dx $는 t를 x에 관해 미분하라는 뜻이므로,

 

$ t'=2x $가 됩니다.

 

즉,

 

$ dt/dx=t'=2x $임을 바로 알 수 있습니다.

 

즉, 다시쓰면

 

$ dt/dx=2x $입니다.

 

$ y'=(dy/dt)*(dt/dx) $에서

 

우변의 각각을 대입하면,

 

$ y'=(dy/dt)*(dt/dx)= (cos(x^2))*(2x)=2xcos(x^2)$이므로

 

$ y'=2xcos(x^2)$임이 자명합니다.

 

즉 y의 도함수는 우리의 추측인 $ y'=cos(x^2) $와 다르게

 

$ y'=2xcos(x^2)$로써 나타납니다.

 

왜 이런 현상이 발생할까요?

 

전자가 옳지 않은 이유는 당연한 사실에서 기인합니다.

 

우리의 삼각함수의 미분법은

 

sin(x)의 도함수가 cos(x)라고 했지

 

sin(x^2)의 도함수가 cos(x^2)라고 한 적은 전혀 없기 때문입니다.

 

그러한 사실을 우리가 배운적이 없다고 해서 그것이 거짓이라는 뜻이 아닙니다.

 

그저 배웠던 기본적인 참인 명제가 아니기때문에 함부로 그것을 이용할 수 없다는 뜻입니다.

 

마냥 믿고 썼다가 그 명제가 거짓이면 어떡할 건가요?

 

그렇게 했다간

 

$ y'=cos(x^2) $이라는 충격적인 주장을 하게 되는 것입니다.

 

혼내는 것은 멈추고,

 

어쨌든 연쇄법칙(합성함수의 미분법)은 위와같은 방식으로 치환을 하여서 우리가 아는 미분법을 이용하게 하는 것에 의미가 있습니다.

 

예제를 풀어보고 마치겠습니다.

 

예제)

 

$ y=ln(x^2)을 미분하시오. $

 

$ x^2=t $라고 치환하면,

 

연쇄법칙에 의해서

 

$ y'=(dy/dt)*(dt/dx) $

 

이므로 우변의 도함수 두 개를 구해서 곱해주면 됩니다.

 

여기서 저렇게 치환하는 이유는

 

우리는 $ y=ln(t) $의 미분법을 알고있기 때문입니다.

 

즉,$ = (dy/dt)=1/t  $입니다.

 

$ t=x^2 $에서 $ (dt/dx)=2x $입니다.

 

즉, $ y'=(dy/dt)*(dt/dx)=(1/t)*2x=(1/x^2)*2x=2x/x^2=2/x$임이 밝혀집니다.

 

쉽지 않나요?

 

드디어 기본적인 내용들을 마쳤습니다.

 

앞으로는 좀 더 도파민 팡팡터지는, 그러니까 지루한 개념학습은 조금 줄이고 흥미로운 내용들을 우리의 수학적 도구를 이용해서 살펴보도록 합시다.

 

지금까지 배운 미분법들을 잘 활용할 수 있는 힘이 있다면 앞으로의 학습에서 큰 도움이 될 것입니다.

 

사실 그 실력은 필수적이라고 할 수 있겠습니다.

 

파이팅합시다.