[번외] 정삼각형의 대칭성

미적분학을 주축으로 하는 글들이지만

 

결국 모든 것들은 미적분학으로 귀결되는 수학인 만큼

 

여러가지 다른 분야의 문제들을 가져와보도록 하겠습니다.

 

이번 편은 특별하게 여러분들이 스스로 생각해볼 기회를 주도록 하겠습니다.

 

Problem 1]

 

정삼각형 ABC가 있다고 하자.

 

한 변의 길이가 1이다.

 

이 때 정삼각형의 중심 $ P $(정 가운데)에서 각 변 AB BC CA에 내린 수선의 발을 D E F라고 하자.

 

그렇다면 $ PD=PE=PF $일 것이다.

 

그리고 간단한 삼각비를 이용하면

 

$ PD=\frac{1}{2\sqrt{3}} $임을 알 수 있어서

 

$ 길이의 합=\frac{\sqrt{3}}{2} $

 

임을 금방 알 수 있다.

 

이러한 문제를 확장한 것으로써

 

다음을 증명하시오.

 

삼각형 ABC가 존재하여 한 변의 길이가 $ L $이라고 하자.

 

이 때 내부에 존재하는 임의의 점 $ P $에서 각 변 AB BC CA에 내린 수선의 발을 D E F라고 하자.

 

이 때 그들 각각을 $ a $ $ b $ $ c $ 라고 부르면

 

$ a+b+c $의 값이 일정함을 증명하시오.

 

또한 그 일정한 값이 정삼각형에서 무엇을 의미하는지 밝힐 것.

 

 

 

 

참고