Problem 1 - 미분방정식과 눈덩이의 소멸 pt1

 

앞으로는 새로운 개념을 소개하는 것이 그 글의 주요 내용이라면 Chapter...하는 식의 제목을 쓰겠습니다.

 

문제에 대해서 고민하고 개념을 적용하는 것의 위주의 글은 Problem..이라는 식의 제목을 쓰겠습니다.

 

저번 시간에 말 했듯이 앞으로는 배워온 개념들의 활용을 위주로 살펴보기로 했으니

 

이번 시간엔 그 첫번째 아름다운 이야기입니다.

 

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저는 수학과 학생입니다.

 

수학과는 1학년때 미적분학이라는 과목을 배웁니다.

 

(물론 다른 공과대학에서도 배우며, 하등 상관 없어보이는 학과에서도 교양으로 배우곤 합니다.)

 

미적분학은 영어로 Calculus라고 하는데

 

미적분학은 첫 주 내용을 극한의 엄밀한 정의로써 시작합니다.

 

우리가 배웠듯이 극한을 통해서 도함수를 정의하고 미분에 대해 배웁니다.

 

그리고 적분 등등...해나가는데

 

적분이라는 개념을 배우면 그것을 이용해 미분방정식이라는 개념을 배우고 활용하는 예시를 공부합니다.

 

미분방정식은 제가 정말 좋아하는 수학 분야인데요

 

제 지금까지의 경험에 의하면 미분방정식은 다음과 같은 활용적 의의를 갖습니다.

 

"어떠한 값의 변화율과 그 값이 관계있을 때 그 값을 분석하는 방법"

 

이전에 여드름 수학이라고 하여서 [번외] 편으로 잠시 살펴본 적이 있습니다.

 

미분 방정식에는 정말 많은 분야가 있습니다.

 

그 분야 중에는 '편미분방정식'이라 하는 것이 있는데

 

이 분야는 그 방정식 하나를 공부하는 것도 굉장히 많은 수학적 요소가 있어

 

"편미분 방정식을 전공했습니다."

 

라는 말도 있을 정도입니다.

 

저희 학과에도 편미분 방정식을 전공하여 네이버 스토크스 방정식을 연구하는 교수님이 계십니다.

 

각설하고,

 

그 많은 종류의 미분방정식 중에서 굉장히 쉬운 형태를 살펴보고자 합니다.

 

전 글에서 약속했듯이 예시를 먼저 살펴보고 따라오는 개념을 공부하며 나아가봅시다.

 

다음과 같은 궁금증A를 가져봅시다.

 

A - 눈덩이가 녹는 데에는 얼마나 오래 걸릴까?

 

본질적으로 유사한 문제는 다음과 같은 게 있겠죠?

 

B - 원기둥 모양 물통에 물이 1L 차 있을 때 $ 1cm^2 $의 넓이를 가진 원형 구멍을 바닥에 낸다면 물이 다 떨어질 때까지 얼마나 걸릴까?

 

이 두가지 문제가 유사하다고 말씀드린 이유는 다음과 같습니다.

 

1. 어떠한 물리적인 양이 주어지고

 

2. 어떠한 환경적 요인으로 인해서 그 양이 줄어드는데,

 

3. 그 요인으로 인해 전체 양이 0이 되는 과정에서

 

4. 그것이 이루어지는 시간은 얼마나 소요되는가?

 

라는 식의 분석을 두 문제에 적용해도 어색하지 않기 때문입니다.

 

각 문장에 대한 분석을 정리해보겠습니다.

 

 

 

결국엔 두 문제 둘 다 4번에서 이야기하는 그 시간을 구하는 것이 문제입니다.

 

먼저 문제 B를 봅시다.

 

중력과 구멍의 크기를 고려했을 때 떨어지는 물의 양을 1초당 얼마인지를 물리학적으로 계산할 수 있겠죠?

 

그럼 그 값으로 물의 양을 나눠주면 4번이 요구하는 시간을 구할 수 있게 됩니다.

 

이 문제에서 문제 A에 대한 통찰을 얻을 수 있게 됩니다.

 

위의 굵은 글씨의 주장을 식으로 표현해보면 다음과 같게 됩니다.

 

$ 물의 양/물이 떨어져 사라지는 속도=물이 다 사라지는 시간 $

 

결국 B 문제를 푸는 KEY는 우리의 과학적 통찰을 수식으로써 표현하는 것이 된다고 생각할 수 있습니다.

 

우리의 생각을 식으로 적는 것뿐이죠..

 

훨씬훨씬 쉬운 예시를 들어드리자면

 

제 나이가 22살입니다.

 

이 때 제 동생은 저보다 8살이나 어립니다.

 

이 때 제 동생의 나이는 어떻게 되는지 구해보세요.

 

당연히 14살이 답이 되지만

 

그 계산 속에는 여러분들의 문장, 시간 등의 개념을 무의식적으로 수식화 한 흔적이 남아있을 것입니다.

 

이것을 의식화 해드리면

 

$ 남승우의 나이-8살=남승우 동생의 나이 $

 

이것은 방정식입니다.

 

구하고자 하는 제 동생의 나이를 x라고 하면

 

$ 22-8=x $

 

이 식을 만족하는 x값을 구하면 그게 답이 됩니다.

 

B의 경우도 같습니다.

 

1. 문제의 상황을 이해합니다.

2. 여러가지 개념의 이해와 통찰을 바탕으로 하여 문제조건을 수식화 합니다.

 

$ 물의 양/물이 떨어져 사라지는 속도=물이 다 사라지는 시간 $

 

3. 이 식을 풀면 답이 나옵니다. 그리고 이 식은 '방정식'이라고 불립니다.

 

결국엔 제 동생의 나이문제도 방정식을 세우고 풀면 끝나는 것이고,

 

문제 B도 방정식을 세우고 풀면 그 답을 구할 수 있다는 통찰을 얻을 수 있습니다.

 

(이러한 과정을 말장난으로 생각하시지 마시고 문장 문장 넘어가면서 WHY? 혹은 '과연 그런가?'라는 질문을 던져보세요. 절대 하나하나 당연한 이야기가 아닙니다.)

 

문제 A는 B와 비슷하다는 생각을 가진 저희는 문제 B의 솔루션처럼 그 문제조건을 해석하고 방정식을 세워 풀면 어떨까라는 결론에 다다를 수도 있겠습니다.

 

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그럼 해봅시다!

 

A - 눈덩이가 녹는 데에는 얼마나 오래 걸릴까?

 

1. 눈덩이라 하면 동글동글한 이미지인데, 수학적으로 해석하기에 유리하기에 완벽한 구라고 가정합시다.

 

2. 완벽한 구라고 하면 반지름과 원주율에 관한 부피, 겉넓이 공식 등이 떠오르는 것이 자연스럽습니다.

 

3. 따라서 2에 의해서 눈덩이의 양은 '부피'를 선택하여 상황을 해석합시다.

 

4. 여기서 물리적인 통찰 및 가정이 필요합니다.

 

5. 우리는 이러한 가정을 통해 문제를 바라보기로 결정합니다.

 

- "눈덩이의 부피가 줄어드는 속도는 그 겉넓이와 비례한다."

 

6. 위와같은 가정을 강력하다고 추정하는 이유는 눈덩이가 열에 의해 녹아 없어진다는 생각에 있습니다.

 

7. 6에 의하여 눈덩이가 받는 열의 양에 그가 녹는 속도가 비례할 것이라는 물리학적 직관을 가질 수 있습니다.

 

8. 따라서 5번의 가정을 적당한 기준선에서 '그럴듯하다.'라고 이해할 수 있습니다.

 

9. 그럴듯해진 우리의 가정을 통해서 방정식을 세웁니다.

 

10. 먼저 변수를 설정합시다. 눈덩이의 부피를 V라고 합시다. 그리고 반지름은 r이라고 부르고, 최초의 반지름은 R이라고 부릅니다.

 

11. 방정식

 

$ 눈덩이가 녹는 속도=k*눈덩이의 겉넓이 $

 

(여기서 k는 양의 비례상수입니다. 함부로 양 변이 같다고 쓸 순 없으니 보정을 위한 안정빵으로써 k를 곱해두는 겁니다.)

 

이는 좀 더 수학적으로 표현하면

 

눈덩이가 녹는 속도는 곧 눈덩이의 부피가 줄어드는 속도입니다.

 

즉 부피의 시간에 대한 변화율을 의미합니다.

 

우리는 부피를 V라고 하기로 했으니 곧 그 변화율은

 

$ 눈덩이가 녹는 속도=dV/dt $

 

라고 할 수 있겠네요.

 

눈덩이의 겉넓이는 겉넓이 공식에 의해

 

$ 눈덩이의 겉넓이=4πr^2  $

 

이 됩니다.

 

따라서 우리의 방정식은

 

$ dV/dt=4kπr^2   $

 

이 됩니다.

 

여기서 구의 부피 공식에 따라

 

$ V=4πr^3/3   $

 

임을 압니다.

 

즉,

 

$ dV/dt=d(4πr^3/3)/dt $

 

입니다.

 

바로 전시간에 배운 "연쇄법칙"에 따라서

 

$ dV/dt=d(4πr^3/3)/dt={d(4πr^3/3)/dr}*(dr/dt)=4kπr^2  $

 

정리하면

 

$ {d(4πr^3/3)/dr}*(dr/dt)=4kπr^2  $

 

이 때 

 

$ {d(4πr^3/3)/dr}=4πr^2  $

 

입니다.

 

이를 대입하면,

 

$ {d(4πr^3/3)/dr}*(dr/dt)=(4πr^2)*(dr/dt)=4kπr^2  $

 

즉,

 

$ (4πr^2)*(dr/dt)=4kπr^2  $

 

에서 양변을 $ 4πr^2 $ 으로 나누면,

 

$ (dr/dt)=k $

 

여기까지 이해가 안되면 안됩니다.

 

모르겠으면 질문하거나 공부하십시오.

 

$ (dr/dt)=k $

 

이제 이 미지의 식을 해석할 필요가 있습니다.

 

r이라는 것은 눈덩이의 반지름으로 t라는 시간변수에 따라서 계속 변할 겁니다.

 

그럼 모종의 r=f(t)라는 f가 존재하여 그와 같이 생각할 수 있겠죠?

 

그럼 $ (dr/dt)=k $ 에서 좌변은 r을 t에 관해 미분한 것이라 생각할 수 있습니다.

 

f(t)는 t에관한 미지의 식입니다. 예를 들어서

 

$ f(t)=t $라던가

 

$ f(t)=t^2 $과 같은 것이죠?

 

그 f(t)가 뭔지는 모르겠습니다.

 

그런데 우리가 아는 것은 그걸 미분하면 k가 나온다는 사실입니다.

 

k는 어떤 상수에 불과합니다. 예를 들어 k=1 이거나 k=2.8같은 그냥 양의 실수가 된다는 뜻이죠.

 

근데 우리의 미분공식에 따르면 미분해서 상수가 될려면

 

y=x와 같은 일차함수의 꼴이어야 그것이 가능했습니다.

 

위의 함수는 미분하면 1이 됩니다.

 

y=2x는 2가 되고, y=3x는 3이 됩니다.

 

오! 그러면 y=kx는 미분하면 k가 될겁니다.

 

그러니까~ f(t)를 미분해서 k라는 상수가 나온 걸 보니까 f(t)는 일차함수인 것 같고, 그 계수가 k가 되는 것 같습니다.

 

따라서 다음과 같은 결론이 도출되죠,

 

$ f(t)=kt $

 

근데, kt가 아니라 kt+1이어도, kt+2여도 모두 미분하면 k가 나오는건 매한가지입니다.

 

그래서 그 뒷꽁무니의 상수항은 뭔지 모르니까 C라고 합시다.

 

따라서 

 

$ r=f(t)=kt+C $라는 결과값을 얻습니다.

 

이게 미분방정식입니다.

 

r의 변화율이 k라는 상수에 관련 있었잖아요?

 

그 때 r을 구한 거니까 위는 미분방정식의 쉬운 예라고 생각하면 되겠습니다.

 

여기서 r이라는 것은 0이 되어야 눈덩이가 다 녹은 것으로 해석할 수 있겠죠?

 

그럼 r=0을 대입하면,

 

$ r=0=kt+C $에서 우리가 원하는 것은 t이니 t에 관해 정리합시다.

 

$ t=-C/k $

가 되어 눈덩이가 다 녹는 데까지 걸리는 시간을 결정할 수 있게 됩니다.

 

근데 아마 엥? 할 수 있을 겁니다.

 

t=2,3과같은 엄청 구체적인 수는 아니어도 뭔가 물리적 의미를 담고있는 t값을 기대하셨을텐데,

 

여기서는 두 가지가 결핍되어서 그렇지 못 한 너무나도 일반적인 결론을 얻은 것 뿐입니다.

 

두 가지는 다음과 같습니다.

 

1. 초기조건

 

2. 실험으로 얻은 k라는 비례상수

 

다음 시간엔 우리의 문제 A를 더 눈에 보이는 방식으로 쉽게 해석하여 풀어봅시다.

 

전체적인 틀만 이해하시면 다음 내용은 역시 문제가 없을 겁니다.

 

그리고 수학이 익숙하지 않아 이번 글에서 대체 무슨 의미를 느껴야 하는 건지 감이 안 온다면,

 

역시 다음 글에서 저희가 해온 계산들의 실용성을 몸소 느낄 수 있을 겁니다.

 

다음 시간에 봅시다. 파이팅