Problem 1 - 미분방정식과 눈덩이의 소멸pt2(end)

다시 글을 이어나가볼까요

 

이전 시간에는 눈덩이의 소멸을 수학적으로 분석했습니다.

 

눈덩이가 소멸한다는 말을 그의 부피가 0이되는 것으로 이해했고

 

그의 부피가 0이 될 때 까지 걸리는 시간을 계산한다는 개념으로써

 

'변화율'이라는 것을 자연스럽게 떠올리게 됐고,,,

 

이에 따라 식을 세우고 세워보니 미분방정식을 만났습니다.

 

이를 풀이해서 그 시간을 계산해봤습니다.

 

일반적인 상황을 가정했기때문에

 

모든 값들을 변수로써 ,, 그러니까 쉽게 말해서 미지수(알파벳)로 표현해 계산했죠

 

그래서 아마 와닿지 쉽지 않았을 거에요.

 

좀 더 쉽고 직관적으로, 실용적으로 와닿기 위한 방법으로써 이 주제를 pt2까지 쓰게 됐습니다.

 

pt1만으로도 완결되지 않은 내용이라 하는 것은 틀렸지만

 

여러분들이 충분히 느끼기 위해서라면 pt2의 접근이 필수적으로 보였습니다.

 

자! 시작해봅시다.

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자. 우리는 이렇게 가정했었습니다.

 

$ 눈덩이가 녹는 속도=k*눈덩이의 겉넓이 $

 

여기서 k는 어떠한 실험값으로써 주어지는 비례상수라 했습니다.

 

우리가 수많은 실험을 거쳐서(100번? 1000번? 구억번정도?) k 값을 찾았다고 가정해봅시다.

 

$ k=-1 $입니다.

 

그럼 위의 식은,

 

$ 눈덩이가 녹는 속도=-눈덩이의 겉넓이 $

 

가 될 것이고,

 

각 변의 변수를 수학적으로 해석해서 다시 쓰면..

 

$ dV/dt=-4πr^2   $

가 됩니다.

 

연쇄법칙에 의해

 

$ dV/dt=d(4πr^3/3)/dt={d(4πr^3/3)/dr}*(dr/dt)=-4πr^2  $

 

즉,

 

$ {d(4πr^3/3)/dr}*(dr/dt)=-4πr^2  $

 

그러니까...

 

$ (4πr^2)*(dr/dt)=-4πr^2  $

 

양변의 공통인수를 제거해주면,

 

$ (dr/dt)=-1 $

 

어떤 함수를 미분해서 -1이 나왔다는 건?

 

계수가 -1인 일차함수임이 분명합니다.

 

따라서 

 

$ r=-t+C $라는 생각을 할 수 있습니다.

 

C라는 것은 적분상수라고 부르는 값입니다.

 

C가 어떤 값이 되어도 사실 그 모든 일차함수들은 우리의 미분방정식의 해가 될 수 있기 때문이죠..

 

문제에선 똥을 고르라고 하는데 고양이 똥도 똥이고 소똥도 똥이고 새똥, 인분도 똥인 느낌?

 

복수정답 느낌입니다 ㅎㅎ

 

하지만 정답은 언제나 하나..!

(구라입니다.)

 

만약 리만가설에 도전하고 있는 개체가 싼 똥은 아니라는 조건이 붙는다면,,!

 

적어도 인분은 아닐 것입니다.

 

이렇게 정답이 줄고 줄어서 결국 정답은 제한될 수 있는 가능성이란 게 존재합니다.

 

이런 가능성은 보통 자연현상을 해석하는 미분방정식의 해를 관찰할 때에는, 초기조건을 파악함으로써 얻을 수 있습니다.

 

초기조건이란 쉽게 말하면 문제에 주어진 기본적인 상황과 같은 것을 이야기한다고 보면 됩니다.

 

만약 우리가 관찰하고있는 눈덩이가

 

20초가 지났을 때 반지름이 5가 됐다고 생각해볼까요?

 

이것을 초기조건이라고 상정하고 우리의 일반적인 잡탕죽똥 미분방정식의 해에 대입해서 적분상수 C를 찾아내면 되는 일입니다.

 

자, 다시 식을 들여다보면,

 

$ r=-t+C $

 

t=20일 때 r=5임이 초기조건에 의해서 자명합니다.

 

이를 대입해주면,

 

$ 5=-20+C $이니, 

 

$ C=25 $입니다.

 

즉 미분방정식의 해는,

 

$ r=-t+25 $

 

입니다.

 

자 어떤가요..

 

우린 이제 이 눈덩이의 모든 것을 압니다.

 

$ r=-t+25 $

 

이로부터

 

1. 시간이 지남에 따라 눈덩이의 반지름이 변하는 정도를 파악할 수 있으며

 

2. 심지어는 25초가 지나면(t=25를 대입하면) 눈덩이가 소멸함을(r=0)이 됨을 확인할 수도 있습니다.

 

3. 또한 우리의 해를 조금만 변형하면

 

$ V=4πr^3/3   $

 

에서

 

$ V=4π(25-t)^3/3   $

 

로 생각할 수 있고

 

위와같은 삼차함수로 눈덩이의 부피자체의 변화율을 느낄 수도 있습니다.

 

어떻습니까

 

명확한 초기조건과 주어진 변수(실험상수 k)를 통해서 눈덩이 하나를 정복해보았습니다.

 

저번 시간의 뭔가 애매모호한(사실 그렇지 않습니다만 충분히 그렇게느껴질 수도 있는...)

 

일반적인 해석보다는

 

이런 구체적인 특수한 케이스의 해석이 친근하게 다가오셨나요

 

두 가지 방식을 두고 뭐가 좋다 나쁘다 따질 것이 아닙니다.

 

오히려 따지면 안됩니다.

 

두 방법 모두 필요한 방법이기때문이죠, 수학에서는.

 

수학에서는 어려운 문제를 만나면 구체적인 예시를 들어서 생각해보곤 합니다.

 

약간 '사고실험'같은 느낌이죠

 

어쨌든 이렇게 눈덩이문제를 같이 풀어보았습니다.

 

여러분이 미분방정식의 효용을 잘 느끼셨길 바라며

 

부족했다면 앞으로 이어나갈 글에서 더 깊게 느끼길 바라며 전 이만 글을 마치겠습니다

 

수고하셨습니다 ㅎㅎ