Chapter 6 - 자연상수 e의 도입과 지수함수의 미분법

자연상수 e라고 했습니다.

 

자연상수 e는 

 

 

 

위 이미지에서 보듯 2.7182818284...로 순환하지 않고 끝없이 이어지는 순환하지 않는 무한소수 

 

즉 무리수입니다.

 

그냥 그러한 어떤 특정 숫자가 존재한다고 생각하시면 되고

 

그 숫자에 e라는 이름을 붙여서 불러주는 겁니다.

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원주율이 원의 지름과 둘레 사이의 비율을 상징하는 것과 같이

 

자연상수 e는 그것의 존재 이유가 존재합니다.

 

굉장히 여러가지가 있지만 그의 정의는 다음과 같습니다.

 

$ (1+무한소)^{무한대} $

 

무한대라 함은 집합론에서 그와 관련된 개념(무한집합)에 대해서 다루고 논해보았지만

 

이곳에서는 그냥 엄청나게 큰 그 숫자라는 여러분의 상식적인 개념의 선으로 이해해주시면 됩니다.

 

무한소라 함은 무한대의 반대의 개념과 같습니다.

 

엄청나게 0에 가까운 작은 숫자라고 생각하시면 됩니다.

 

예를 들어 0.00000000000000000000000000000000000000000000000001보다 훨씬 훨씬 몇억 몇조 몇경 몇해의 제곱의 몇해제곱배보다 훨씬 훨씬 훨씬 더 작고도 작고도 모잘라서 작은 숫자보다는 더 작은 끝없는 말도 안되는 작음을 가진 작은 숫자입니다.

 

1에 그러한 먼지같은 숫자를 더해서 그것을 우주보다 더 큰 숫자만큼 제곱하면 놀랍게도 특정 상수로 수렴하게 됩니다.

 

그것을 e라고 부릅니다.

 

e의 정의는 다시 써서 다음과 같습니다.

 

$ e=\displaystyle \lim_{x \to 0}(1+x)^{\frac{1}{x}} $

 

정의를 잘 들여다보면

 

x가 한없이 0으로 가까이 가기때문에

 

1+x는 1+무한소임을 함의하고

 

그것의 1/x승이라 함은 무한대 제곱을 의미합니다.

 

따라서 그것은 자연상수 e의 정의가 됩니다.

 

기존에 이야기한 원주율의 존재 이유처럼 자연상수 e에도 존재 이유가 존재한다고 했습니다.

 

굉장히 여러가지 이유가 있지만 일단은 지금 그 이유를 두 가지 정도로 받아들입시다

 

 

 

1. 지수함수를 미분하기 위해서

 

2. 자연현상을 해석할 때에 많이 등장하니까(이것은 과학현상뿐만을 이야기하는 것이 아닙니다.)

 

 

 

 

1번이 과연 그 이유가 되는지 살펴봅시다.

 

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지수함수라 함은 어떠한 상수의 지수가 변수인 경우를 이야기합니다.

 

예를 들어서

 

$ y=2^x $

 

같은 함수를 이야기하죠

 

(1,2)나 (2,4)와 같은 점들이 해당 함수의 그래프가 지나는 점이 될 것입니다.

 

일반적인 버전으로 생각하여

 

$ y=a^x $

 

이 녀석을 미분해보겠습니다.

 

미분한다는 것은 도함수를 구하는 것

 

도함수를 구한다는 것은 미분계수의 정의를 x에 대해 일반화 한다는 것

 

등등의 논리를 꼭 기억하시길 바랍니다.

 

그럼 도함수의 정의를 이용해 표현해봅시다.

 

$ \frac{dy}{dx}=\displaystyle \lim_{h \to 0}\frac{{a^{x+h}-a^{x}}}{h} = \displaystyle \lim_{h \to 0}a^x\frac{a^h-1}{h}=a^x\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{a^h-1}{h} $

 

따라서 우린 다음 극한값을 알아내어야 합니다.

 

$\displaystyle \lim_{ h\to 0}\frac{a^h-1}{h}$

 

위 극한 값은

 

$ ln(a) $임이 알려져있습니다.

 

그 유도과정은 다음과 같습니다.(인용)

 

 

만약 위 유도과정이 이해가 안된다면 세 가지를 의심해보아야합니다.

 

1. 극한에 대한 이해

https://m.blog.naver.com/jjangting/222090352532

[수학2] 함수의 극한 개념설명

 

2. 로그의 정의와 자연로그

https://m.blog.naver.com/heoyoonhomath/222927968761

로그란 무엇일까요

 

추가로 위와같은 로그의 의미에서 밑이 e인 경우를 자연로그라고 부르고 ln과 같이 쓰도로 약속했습니다.

 

개념이 비어있다면 따로 학습할 필요가 있습니다.

 

이 글을 연재하면서 그것들까지 소개하는 것은 글의 흐름에서 많이 벗어날 확률이 크기때문에 생략하겠습니다.

 

따라서 

 

$\frac{dy}{dx}=ln(a)a^x$입니다.

 

위 유도과정에서 자연상수 e의 정의가 보이시나요

 

자연상수 e의 정의를 알고있기 때문에 우리는 이제 모든 지수함수를 미분할 수 있습니다.

 

특히 $y=e^x$인 경우에 대해 생각하면

 

이를 미분하면 $y'=ln(e)e^x$가 될 것인데 $ln(e)=1$입니다. 즉 $y'=e^x$입니다.

 

예제를 풀어보고 마칩시다.

 

예제1 $ y=3x^23^x $일 때 y'은?

 

3x^2과 3^x의 곱으로 이루어진다고 생각합시다.

 

그렇다면 곱꼴의 미분법을 적용합시다.

 

앞'뒤+앞뒤'이므로

 

$ y'=6x3^x+3x^2ln(3)3^x=3^x(6x+3ln(3)x^2) $

 

입니다.

 

예제2 $ y=\frac{e^x}{x} $의 도함수는?

 

분수꼴의 미분법을 적용합시다.

 

위/아래의 도함수는 (위'*아래-위*아래')/아래^2입니다.

 

이를 적용하면

 

$y'=\frac{e^x*x-e^x*1}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$입니다.

 

이상으로 자연상수와 지수함수의 미분법에 대한 내용을 마칩니다.

 

다음 시간엔 비슷한 맥락으로 로그함수의 미분법.

 

그리고 최종적으로는 연쇄법칙(합성함수의 미분법)에 대해서 다룹시다.

 

이상!